Description：捷联惯导 (SINS) 误差传播的两种经典表述 — Psi-angle (ψ) 模型与 Phi-angle (φ) 模型、它们的坐标系定义区别、姿态/速度/位置误差微分方程，以及为什么 SLAM/VIO 较少直接用而组合导航必用
Source：[K2E-2] Psi Model (Notion id b36a0e57-532f-48d7-a91c-aedf881c7985)；整理自惯导误差分析文献 (Benson 1975 等)
Created：2023-04-10
Updated：2026-06-03
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1. 为什么要惯导误差模型

纯惯导 (INS / SINS) 靠积分 IMU 输出推算位姿，误差会随时间累积发散。要做组合导航 (INS + GNSS / 里程计 / 视觉) 或初始对准，必须知道误差如何随时间传播 — 这就是惯导误差模型。

误差状态通常含：姿态误差 (失准角)、速度误差、位置误差，加上 IMU bias。误差模型给出这些量的微分方程，用于 Kalman 滤波器的状态方程。

有两种经典的姿态误差表述：Phi-angle 模型和 Psi-angle 模型 — 区别在于失准角定义在哪个坐标系。

2. 三个坐标系

理解两种模型的关键是分清三个导航系：

坐标系	符号	定义
真实导航系	$n$	理想的当地水平坐标系 (如东北天 ENU)，基于真实位置
计算导航系	$n'$ (或 $c$)	惯导根据有误差的位置算出来的导航系
平台系 (计算姿态)	$p$	惯导内部维护的姿态对应的坐标系。"平台"源自有框架惯导 (gimbaled INS)；捷联 SINS 中无实体平台，$p$ 是姿态积分维护的虚拟计算 body 系，区别于物理 body 系 $b$

惯导有两类误差耦合在一起：

位置误差 → 导致计算导航系 $n'$ 偏离真实导航系 $n$ (因为导航系定义依赖位置)
姿态误差 → 导致平台系 $p$ 偏离它应该对齐的导航系

Phi 和 Psi 模型的区别就在于：失准角是 $p$ 相对 $n$ (真实)，还是 $p$ 相对 $n'$ (计算)。

3. Phi-angle (φ) 模型

Phi 角 $\boldsymbol{\phi}$ = 平台系 $p$ 相对真实导航系 $n$ 的失准角。

姿态误差微分方程 (概略形式)：

$$ \dot{\boldsymbol{\phi}} = -\boldsymbol{\omega}{in}^n \times \boldsymbol{\phi} + \delta\boldsymbol{\omega}{in}^n - \delta\boldsymbol{\omega}_{ib}^p $$

$\boldsymbol{\omega}_{in}^n$ — 导航系相对惯性系的角速度
$\delta\boldsymbol{\omega}_{ib}^p$ — 陀螺误差 (bias + 噪声)

特点：

$\boldsymbol{\phi}$ 把位置误差引起的导航系偏差和真实姿态误差混在一起 (因为它相对真实系 $n$)
物理意义直观 (相对真实系)，但误差方程里姿态和位置误差耦合较强

4. Psi-angle (ψ) 模型

Psi 角 $\boldsymbol{\psi}$ = 平台系 $p$ 相对计算导航系 $n'$ 的失准角。

姿态误差微分方程 (概略形式)：

$$ \dot{\boldsymbol{\psi}} = -\boldsymbol{\omega}{in'}^{n'} \times \boldsymbol{\psi} - \delta\boldsymbol{\omega}{ib}^p $$

叉乘项的下标切换是有意的：phi 方程用真实导航系角速率 $\boldsymbol{\omega}{in}^n$，psi 方程用计算导航系角速率 $\boldsymbol{\omega}{in'}^{n'}$。两者之差正是 $\delta\boldsymbol{\omega}_{in}^n$ — 即 phi 方程比 psi 多出的那一项，也是 psi 能解耦位置/速度误差的原因。

特点：

$\boldsymbol{\psi}$ 相对的是计算导航系 $n'$ — 把位置误差那部分剥离出去了
姿态误差方程更简洁，姿态和位置误差解耦得更好
代价：$\boldsymbol{\psi}$ 物理上不如 $\boldsymbol{\phi}$ 直观 (相对一个本身有误差的计算系)

5. 两者的关系与选择

两个失准角差一个由位置误差引起的导航系偏转角 $\delta\boldsymbol{\theta}$：

$$ \boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\psi} + \delta\boldsymbol{\theta} $$

其中 $\delta\boldsymbol{\theta}$ 来自位置误差 (经度/纬度误差导致的当地水平系旋转)。

	Phi 模型	Psi 模型
失准角参考系	真实导航系 $n$	计算导航系 $n'$
姿态-位置耦合	强	弱 (解耦更好)
物理直观性	高	低
大失准角情形	需非线性扩展 (经典线性化假设小角度)	同样需非线性扩展；非线性 psi 模型文献更丰富

选择：传统组合导航 (GNSS/INS) 两种都用，看具体推导习惯。大失准角初始对准时有专门的非线性 Psi-angle 模型 (见 K2E-B-I4 SINS 论文里那篇 "Non-linear Psi-Angle Model for Large Misalignment Errors")。

6. 与 VIO 的关系

VIO / 视觉 SLAM 较少直接用 Psi/Phi 模型 — 原因：

VIO 用的是局部世界系 (重力对齐的固定参考系)，运动范围小 (室内到城市级)，不考虑地球曲率/自转 → 导航系 ≈ 固定世界系，$n$ 和 $n'$ 的区别可忽略
VIO 的姿态误差直接用 SO(3) 切空间扰动 / 四元数误差状态 (ESKF) 表达 (见 VIO 系列 ch02 + 四元数 EKF)，不需要 psi/phi 这套导航系区分

但在以下场景 Psi/Phi 模型仍重要：

大范围组合导航 (GNSS/INS，跨城市/洲际) — 必须考虑地球模型
惯导初始对准 (静基座/动基座对准)
战术级以上 IMU 的高精度误差分析

可以把它看作 VIO 误差状态模型的"地球尺度版本" — 同样是误差状态传播，只是 VIO 简化掉了地球相关项。

References

Benson, D. O. (1975). A Comparison of Two Approaches to Pure-Inertial and Doppler-Inertial Error Analysis. IEEE T-AES. — Psi vs Phi 模型的经典对比 (原 note 引用，也是 K2E-B-I4-1 论文)
严恭敏. 捷联惯导算法与组合导航原理. — 中文 SINS 误差模型权威
秦永元. 惯性导航 (第 2 版). — 中文惯导教材，误差方程
Groves, P. D. Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems (2nd ed.). — 英文权威，psi/phi 角误差模型
Scherzinger, B. M., & Reid, D. B. (1994). Modified Strapdown Inertial Navigator Error Models. PLANS. — psi-angle 模型推导
CSDN: 惯导 Psi 模型系列 / weixin_45030158 — 原 note 主参考 (4 篇系列)
INSTK blog: instk.org Psi model — 原 note 引用

惯导误差模型 — Psi-angle 与 Phi-angle