Description：超出 KF/EKF/UKF/IF/iEKF/ESKF 主线之外的几个常见变体 — Ensemble KF (地球科学主流)、Augmented State KF (扩状态吸收偏置/有色噪声)、IMM (机动目标跟踪的多模型并行)
My Notion Note ID：K2E-A-E5
Created：2023-04-10
Updated：2026-06-02
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1. 在 KF/EKF/UKF/ESKF 之外

主线变体已经涵盖了 SLAM 工程的 90% 应用 (见高斯滤波家族那篇)。但还有几个变体在特定领域占据主导地位，SLAM 工程师偶尔会遇到：

变体	主战场	解决什么
EnKF	地球科学 / 大气 / 海洋数据同化	状态维度极高 (10^6+)，常规协方差矩阵存不下
Augmented State KF	雷达跟踪 / 控制	有色噪声 / 时变偏置 / 时延 — 把这些"麻烦"吸收进扩展状态
IMM	机动目标跟踪 (导弹、飞机、车辆)	运动模式未知且会切换 — 多个模型并行投票

2. Ensemble Kalman Filter (EnKF)

Geir Evensen 1994 — 为大气海洋数据同化设计的滤波器。其核心创新：用一组样本 (ensemble) 表示状态分布，而不是显式存协方差矩阵。

动机

传统 KF/EKF 显式维护协方差矩阵 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 。气象模拟里 $n \sim 10^6 \sim 10^8$ (网格点 × 状态变量)， $P$ 矩阵直接 OOM。EnKF 思路：用 $N$ 个样本 (典型 $N \sim 50 \sim 200$ ) 隐式表示协方差。

算法

初始化:
    取 N 个状态样本 {x_0^(i)}_{i=1..N} (从初始分布抽样)

每个时刻 t:
    # 1. 预测 — 每个粒子独立通过非线性 f
    对 i = 1..N:
        x_t^(i) = f(x_{t-1}^(i), u_t) + ε_t^(i),  ε_t^(i) ~ N(0, Q)

    # 2. 样本统计量
    bar_μ = (1/N) Σ_i x_t^(i)
    bar_P = (1/(N-1)) Σ_i (x_t^(i) - bar_μ)(x_t^(i) - bar_μ)^T   # 注意! 实际不显式构造

    # 3. 测量更新 (随机扰动观测以保持统计正确性)
    对 i = 1..N:
        z_t^(i) = z_t + δ_t^(i),  δ_t^(i) ~ N(0, R)
        # Kalman 增益 (用样本协方差)
        K_t = bar_P_xz * (bar_P_zz + R)^{-1}
        x_t^(i) ← x_t^(i) + K_t (z_t^(i) - h(x_t^(i)))

关键技巧：增益 $K_t$ 涉及到 $\bar{P} H^T$ 和 $H \bar{P} H^T$ ，这两个量可以直接从样本算，不需要显式构造 $\bar{P}$ ：

\bar{P} H^T \approx \frac{1}{N-1} \sum_i (x_t^{(i)} - \bar{\mu}) (h(x_t^{(i)}) - \bar{h})^T

优缺点

优点：可扩展到极高维状态空间；不要求线性化 (不需要 Jacobian) — 预测步直接传播完整非线性模型 (注意：更新步仍是线性高斯更新，后验假设高斯，见下文与 PF 的区别)
缺点：样本数有限会引入采样噪声 (spurious correlations)，常需要协方差膨胀 (covariance inflation) 和局部化 (localization) 对策
与 UKF 区别：UKF 用确定性 Sigma 点 ( $2n+1$ 个)；EnKF 用随机样本 ( $N$ 个， $N \ll n$ )
与粒子滤波区别：PF 用权重表示后验，EnKF 总假设高斯 — 只是用样本来近似高斯统计量

SLAM 中是否用得到

直接很少用 — SLAM 状态维度通常几十到几百，KF/EKF/iSAM 完全够。但在大型机器人地图融合 (multi-robot SLAM, 全城市建图) 这种场景下，EnKF 思路有用 — 因为协方差矩阵会大到需要类似稀疏化 / 采样的方法。

3. Augmented State Kalman Filter

思路：当标准 KF 的某些假设被破坏时 (比如噪声不白、有未建模偏置、有延时观测)，把这些破坏者作为新的状态变量加入状态向量，然后还是用标准 KF/EKF。

三种典型用途

A. 处理有色噪声

标准 KF 假设过程噪声 $\varepsilon_t$ 和测量噪声 $\delta_t$ 是白噪声。但实际工程里 (传感器低频漂移、电磁干扰、共振耦合)，噪声往往是有色的 — 自相关函数非冲激。

对策：把有色噪声看作"白噪声通过 shaping filter 后的输出"，把 shaping filter 的状态也并进 KF 状态向量。这种"白化处理"在 三脚猫Frank 的 KF 系列 (Zhihu Part 1, Zhihu Part 2) 有详细讨论 — 一阶 Gauss-Markov 过程是最常见的 shaping filter 形式：

\dot{\eta} = -\beta \eta + \nu, \quad \nu \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)

把 $\eta$ 加入状态向量后，原系统等效变成"驱动是白噪声 $\nu$ "的标准 KF 问题。

B. 处理偏置 / bias

传感器有未知静态偏置 (如 IMU 零偏)，或缓慢漂移的偏置 (温度漂移)。对策：把 bias 作为状态变量加入：

x_{\text{aug}} = \begin{bmatrix} x \\ b \end{bmatrix}, \quad \dot{b} = 0 \text{ (静态)} \quad \text{或} \quad \dot{b} = w_b \text{ (随机游走漂移)}

测量方程对应改为 $z = H x + b + \delta$ ，扩展后变成 $z = [H \mid I] x_{\text{aug}} + \delta$ 。VIO / MSCKF / VINS 里的 IMU bias 估计就是这个套路。

C. 处理时延 / 多速率观测

观测有固定时延 (例如视觉处理延时 100ms)，或观测频率低于状态更新频率。对策：状态向量除了当前时刻 $x_t$ ，还保留 $x_{t-k}$ (延时 $k$ 步) 作为附加状态。观测到来时与对应时刻的扩展状态融合。MSCKF (Multi-State Constraint KF) 的核心思想就是把过去若干个相机姿态都保留在状态里，等到 feature 跨多帧观测时一起约束 — 等价于"以视觉观测为基准的延时融合"。

代价

状态维度膨胀 → 协方差矩阵 $P$ 变大 → 计算量增加
但是这是"用算力换正确性" — 比硬假设白噪声 + 现实是有色噪声，导致 KF 估计发散，要好得多

4. IMM — Interacting Multiple Model

问题：目标的运动模型是未知的或者会切换。例如跟踪一架飞机：可能在匀速巡航，可能匀加速爬升，也可能匀速转弯。一个固定模型的 KF 无法适配所有情况。

Blom & Bar-Shalom 1988 / Mazor et al. 1998 的 IMM 思路：

定位目标运动状态不可知。可能是匀速、匀加速、还是匀速转弯，这就是 IMM (交互式多模型滤波)。它的原理大概就是并行计算多种模式下的卡尔曼滤波，比如匀加速、匀速用 KF，匀速转弯用 EKF，然后将每次得出的估计结果与测量作比较，综合权衡几种模式。

算法骨架

维护 $M$ 个并行模型 $\{F_j, H_j, Q_j, R_j\}_{j=1..M}$ ，每个对应一种运动假设。同时维护一个 Markov 转移矩阵 $\pi_{ij}$ — 描述模型 $i$ 切换到模型 $j$ 的概率。

每个时间步：

混合 (Interaction) — 各模型间根据 $\pi$ 互相交换状态信息 (避免某模型完全死掉)：
$x_{0j}^t = \sum_i \mu_{i|j}^t \cdot x_i^t, \quad \mu_{i|j}^t = \frac{\pi_{ij} \mu_i^t}{\sum_k \pi_{kj} \mu_k^t}$
并行滤波 — 每个模型独立跑 KF / EKF，得到各自的 $x_j^{t+1}$ , $P_j^{t+1}$ ，以及似然 $\Lambda_j$ (创新与创新协方差的高斯密度)
模型概率更新 — 根据观测似然贝叶斯更新各模型的后验概率：
$\mu_j^{t+1} \propto \Lambda_j \cdot \sum_i \pi_{ij} \mu_i^t$
加权组合输出 — 最终估计是各模型估计的概率加权：
$x^{t+1} = \sum_j \mu_j^{t+1} \cdot x_j^{t+1}$

直觉

哪个模型最能"解释"当前观测 → 它的似然大 → 模型概率 $\mu_j$ 上升 → 输出更偏向该模型
当目标运动状态切换时 (匀速 → 转弯)，模型概率会自动跟着切换，因此叫"自适应"

主战场

导弹防御 (机动目标跟踪)
空管雷达 (飞机跟踪)
车载毫米波雷达多目标跟踪 (ACC, AEB)
行人 / 车辆 BEV 跟踪 (3D 多目标跟踪)

SLAM 中是否用得到

直接 SLAM 后端不常用 (SLAM 的状态演化由相机/IMU 运动模型固定描述，没有"模式切换"问题)。但相邻领域 — 动态物体跟踪、AEB 系统、ACC 系统、行人/车辆轨迹预测 — IMM 是事实标准。Apollo / Autoware 的 perception 模块的 multi-object tracker 都有 IMM 选项。

进一步

机动目标跟踪是一整个学科。《机动目标跟踪的多模型滤波理论与方法》 (周宏仁等) 是中文圈最详细的教材。Bar-Shalom Estimation with Applications to Tracking and Navigation 是英文权威。

5. 速查

变体	一句话	主战场	与主流 KF 关系
EnKF	用 $N$ 样本表示协方差，避免显式 $P$	地球科学、大气海洋同化	状态维度 $\gg$ 主流 KF
Augmented State KF	把麻烦 (有色噪声 / 偏置 / 时延) 并入状态	雷达、IMU bias、MSCKF	标准 KF/EKF 的扩展用法
IMM	多模型并行 + 概率加权	机动目标跟踪	不是单一滤波器，是"多 KF 的元结构"

References

Evensen, G. (1994). Sequential data assimilation with a nonlinear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics. J. Geophysical Research. — EnKF 原始论文
Evensen, G. (2009). Data Assimilation: The Ensemble Kalman Filter (2nd ed.). Springer. — EnKF 系统教材
Bar-Shalom, Y., Li, X. R., & Kirubarajan, T. (2001). Estimation with Applications to Tracking and Navigation. Wiley. — Augmented State KF、IMM 的英文权威
Blom, H. A. P., & Bar-Shalom, Y. (1988). The Interacting Multiple Model Algorithm for Systems with Markovian Switching Coefficients. IEEE T-AC. — IMM 原始论文
Mazor, E., Averbuch, A., Bar-Shalom, Y., & Dayan, J. (1998). Interacting Multiple Model Methods in Target Tracking: A Survey. IEEE T-AES. — IMM 综述
周宏仁等. 机动目标跟踪. 国防工业出版社. — 中文权威教材，IMM + 多模型滤波详细
三脚猫Frank, 卡尔曼滤波器详解 — 从零开始 (1) — 原 K2E "其他 KF" note 引用 (覆盖随机过程 + KF 基础 + shaping filter，对 §3 Augmented State KF 的"白化处理"理论铺垫有用)
三脚猫Frank, 卡尔曼滤波器详解 — 从零开始 (2) — Part 2，BLUE / OLS / WLS / RLS
梦里寻梦, 通俗易懂理解 — 卡尔曼滤波与扩展卡尔曼滤波 — KF/EKF + 毫米波雷达坐标变换示例 + 简短 IMM 介绍 (本文 §4 IMM 描述参考此文末段)
ESA. Data Assimilation 2 — Ensemble Kalman Filter (PDF). — 原 K2E "其他 KF" note 引用，链接已失效

其他卡尔曼滤波变体 — EnKF / Augmented State KF / IMM

Table of Contents

1. 在 KF/EKF/UKF/ESKF 之外

2. Ensemble Kalman Filter (EnKF)

动机

算法

优缺点

SLAM 中是否用得到

3. Augmented State Kalman Filter

三种典型用途

A. 处理有色噪声

B. 处理偏置 / bias

C. 处理时延 / 多速率观测

代价

4. IMM — Interacting Multiple Model

算法骨架

直觉

主战场

SLAM 中是否用得到

进一步

5. 速查

References